Nato nel 1974 a Budapest in una famiglia di musicisti, Héjà si è accostato precocemente alla pratica di diversi strumenti: al Conservatorio Bartok ha studiato pianoforte e percussioni. Si è poi perfezionato in Direzione d'Orchestra e Percussioni all'Accademia Franz Liszt di Budapest .

Nel 1986 ha vinto il Terzo Premio al Concorso Pianistico di Budapest, nel 1990 il Primo Premio del Concorso Internazionale di Percussioni di Budapest, nel 1998 Il Primo Premio, il Premio del Pubblico e il Premio Solti al Nono Concorso Internazionale di Direzione d'Orchestra della Televisione Ungherese , ed  ha vinto il Concorso Mitropoulos di Atene nel 2000 .

Nel 1993 Héjà ha fondato la Danubia Youth Symphony Orchestra – che sotto la sua direzione ha raggiunto un notevole livello artistico. Tra il 2001 e il 2004 Danubia è stata „Orchestra Nazionale Giovanile Ungherese” e sotto la direzione di Héjà l’orchestra ha suonato in Francia, Germania, Italia e Spagna, anche in prestigiosi festivals come Young Euro Classics di Berlino, all’Autunno Musicale di Como, al "Lisztomanias" di Chateauroux in Francia.

Héjà dirige regolarmente le orchestre ungheresi e nel 2001 ha debuttato all’Opera di Budapest con  Bohème  continuando poi con Traviata, Turandot, Rigoletto, La Dama di Picche, La Lady Macbeth del Distretto di Mcensk . Nel 2002 ha presentato a Roma e Firenze  Il Castello di Barbablù di Bartok con l’Opera di Budapest.  Héjà viene spesso invitato anche a dirigere in Germania ed ha diretto anche la Slovak Philharmonic di Bratislava, la Kosice State Symphony, la Macedonian Philharmonic , la Tokyo City Philharmonic, l’Orchestra del Lazio di Roma , l’Orchestra del Conservatorio di  Anversa.

Domonkos Héjà ha ricevuto numerose onorificenze del Governo Ungherese: il Premio Ferenc Liszt nel 2003 , nel 2005 il Premio Artisjus per l’interpretazione di musica ungherese contemporanea e nel 2006 il premio László Lajtha.

Nel 2004 ha partecipato con la Danubia Symphony Orchestra alla serie di concerti di „Europa Musicale”. I loro concerti nei Teatri di Wiesbaden, Berlino, Lipsia e Monaco hanno avuto un grande successo e uguale calorosa accoglienza è stata loro riservata dal pubblico dei concerti tenuti  nel 2005 al Toblach Mahler Festival e all’Europa Kulturtage a Francoforte. Nel 2004 ha debuttato a Berlino con la Deutsche Symphonie Orchester.

Nel 2005 ha diretto per la prima volta la Robert Schumann Philharmonie a Chemnitz dove è stato subito invitato a tornare come Direttore Principale.

Nel 2005 ha registrato per Warner Music il secondo cd con la Danubia Symphony  con musiche del compositore ungherese Ernö Dohnányi.

In Italia nel 2000 ha debuttato con la sua Danubia Orchestra a Roma e sempre con la Danubia Orchestra è tornato in tournée nel 2002.

Per quanto riguarda le orchestre italiane, Héjà ha diretto con molto successo nel 2003 l’Orchestra da Camera del Lazio a Roma- dove è stato subito invitato a tornare -  e nel 2004 a Padova l’Orchestra da Camera di Padova e del Veneto. Nel 2005 ha diretto l’Orchestra Regionale Toscana e nuovamente l’Orchestra del Lazio.

Il quotidiano tedesco Der Tagessspeigel in occasione di un suo concerto con la Danubia Orchestra a Berlino nel 2000  ha scritto di lui "è senza dubbio un grande talento che presto raggiungerà la fama dei suoi famosi compatrioti Solti, Reiner, Szell e Ormandy"